Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Sebuah identitas trigonometri dapat ditunjukkan kebenarannya dengan tiga cara. Cara pertama, dimulai dengan menyederhanakan ruas kiri menggunakan identitas sebelumnya sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kanan. Cara kedua, mengubah dan menyederhanakan ruas kanan sampai menjadi bentuk yang sama dengan ruas kiri. Cara ketiga, mengubah baik ruas kiri maupun ruas kanan ke dalam bentuk yang sama

Dari sebuah segitiga $ABC$ siku-siku di $C$, kita misalkan panjang sisi $BC=a$, $AC=b$, dan $AB=c$. Untuk sudutnya kita pakai sudut $ABC$ kita misalkan besarnya sebesar $\beta$.

Deskripsi di atas dalam gambar bisa kita ilustrasikan seperti berikut ini:

Dari segitiga di atas berdasarkan defenisi perbandingan trigonometri kita peroleh;

• $\sin \beta =\frac{b}{c}\left[\frac{de}{mi}\right]$
• $\cos \beta =\frac{a}{c}\left[\frac{sa}{mi}\right]$
• $\tan \beta =\frac{b}{a}\left[\frac{de}{sa}\right]$
• $\csc \beta =\frac{c}{b}\left[\frac{mi}{de}\right]$
• $\sec \beta =\frac{c}{a}\left[\frac{mi}{sa}\right]$
• $\cot \beta =\frac{a}{b}\left[\frac{sa}{de}\right]$

Dari keenam bentuk dasar trigonometri di atas sudah ada beberapa bentuk identitas yang bisa kita peroleh, antara lain;

• $\frac{1}{\sin \beta }=\frac{1}{\frac{b}{c}}=\frac{c}{b}=\csc \beta$ atau $\frac{1}{\sin \beta }=\csc \beta$
• $\frac{1}{\cos \beta }=\frac{1}{\frac{a}{c}}=\frac{c}{a}=\sec \beta$ atau $\frac{1}{\cos \beta }=\sec \beta$
• $\frac{1}{\tan \beta }=\frac{1}{\frac{b}{a}}=\frac{a}{b}=\cot \beta$ atau $\frac{1}{\cot \beta }=\tan \beta$
• $\frac{\sin \beta }{\cos \beta }=\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}}=\frac{b}{a}=\tan \beta$ atau $\frac{\cos \beta }{\sin \beta }=\cot \beta$

Setelah paham identitas trigonometri di atas, sekarang kita coba kembali ke segitiga siku-siku ABC yang diawal tadi. Pada segitiga itu dapat kita terapkan teorema phytagoras yaitu:
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{c}^2\\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}& =\frac{c^2}{c^2}\\ {\left(\frac{a}{c}\right)}^2+{\left(\frac{b}{c}\right)}^2& =1\\ {\left(\cos \beta \right)}^2+{\left(\sin \beta \right)}^2& =1\\ {\cos }^2\beta +{\sin }^2\beta & =1\end{array}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• ${\sin }^2\beta +{\cos }^2\beta =1$
• ${\sin }^2\beta =1-{\cos }^2\beta$
• ${\cos }^2\beta =1-{\sin }^2\beta$

Bentuk identitas trigonometri di atas dapat juga diubah kebentuk yang lain, misalnya:

• ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$
• ${\sin }^2{355}^{\circ }+{\cos }^2{355}^{\circ }=1$
• ${\sin }^{2}p+{\cos }^{2}p=1$

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $a^2+b^2=c^2$.
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{a}^2\\ \frac{a^2}{a^2}+\frac{b^2}{a^2}& =\frac{c^2}{a^2}\\ 1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2& ={\left(\frac{c}{a}\right)}^2\\ 1+{\left(\tan \beta \right)}^2& ={\left(\sec \beta \right)}^2\\ 1+{\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta \end{array}$

Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• $1+{\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta$
• ${\tan }^2\beta ={\sec }^2\beta -1$
• $1={\sec }^2\beta -{\tan }^2\beta$

Untuk identitas trigonometri berikutnya kita kembali ke persamaan $a^2+b^2=c^2$.
$\begin{array}{cc}B{C}^2+A{C}^2& =A{B}^2\\ a^2+b^2& =c^2\\ \text{kedua ruas}& \text{dibagikan dengan}{b}^2\\ \frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{b^2}& =\frac{c^2}{b^2}\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^2+1& ={\left(\frac{c}{b}\right)}^2\\ {\left(\cot \beta \right)}^2+1& ={\left(\csc \beta \right)}^2\\ {\cot }^2\beta +1& ={\csc }^2\beta \end{array}$
Beberapa identitas trigonometri yang bisa kita ambil dari persamaan di atas adalah:

• ${\cot }^2\beta +1={\csc }^2\beta$
• $1={\csc }^2\beta -{\cot }^2\beta$
• ${\cot }^2\beta ={\csc }^2\beta -1$

Ada beberapa rumus identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui seperti:

• Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras

Contoh Soal:

1. Sin α . Cos α . Tan α =  (1 – Cos α)  (1 + Cos α)

Jawab:

2. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β

Jawab:

$$ \sqrt{2pq}$$ tanA=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$$ p^2+q^2=$$

Jawab: 

Dari soal ada beberapa data yang bisa kita ambil dan kembangkan yaitu:
$\sin A=\sqrt{2pq}$
ruas kiri dan kanan persamaan di atas sama-sama dikuadratkan menjadi ${\sin }^{2}A=2pq$.

Berikutnya diketahui $\tan A=\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}$
$\begin{array}{cc}\frac{\sin A}{\cos A}& =\frac{\sqrt{2pq}}{p-q}\\ \frac{\sin A}{\cos A}& =\frac{\sin A}{p-q}\end{array}$
diperoleh persamaan $\cos A=p-q$

Ruas kiri dan kanan persamaan $\cos A=p-q$ sama-sama dikuadratkan, menjadi:
$\begin{array}{cc}{\left(p-q\right)}^2& ={\cos }^{2}A\\ p^2+q^2-2pq& ={\cos }^{2}A\\ p^2+q^2& ={\cos }^2+2pqA\\ & ={\cos }^2+{\sin }^{2}A\\ & =1\end{array}$

${4.\; Buktikan\; (\sin A+\cos A)}^2-2\cdot \sin A\cos A=1$

Jawab:

(sin A+cos A)2−2⋅sin A cos A=1sin2A+cos2A+2⋅sin A cos A−2⋅sin A cos A=1sin2A+cos2A=11=1∴terbukti

Daftar Pustaka

Adhima.Fauzan.2020."Trigonometri: Sudut Istimewa, Identitas & Perbandingan | Matematika Kelas 10"https://www.ruangguru.com/blog/apa-itu-trigonometri.diakses pada tanggal 17 Januari 2022

Dosenpendidikan.2022."IdentitasTrigonometri"https://www.dosenpendidikan.co.id/identitas-trigonometri/.diakses pada tanggal 17 Januari 2022

Defantri.3016."MengenaldanMembktikanIdentitas Trigonometri"https://www.defantri.com/2016/09/mengenal-identitas-trigonometri-dasar.html

diakses pada tanggal 17 Januari 2022