Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi

Komposisi Fungsi

Fungsi Komposisi adalah penggabungan operasi dua jenis fungsi f(x) dan g(x) sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Operasi fungsi komposisi biasa dilambangkan dengan "o" dan dibaca komposisi atau bundaran. Fungsi baru yang dapat terbentuk dari f(x) dan g(x) adalah:

1. (f o g)(x) artinya g dimasukkan ke f

2. (g o f)(x) artinya f dimasukkan ke g 

Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi yang dapat dilambangkan dengan huruf “f o g” atau juga dapat dibaca “fungsi f bundaran g”. Fungsi “f o g” adalah  fungsi g yang dikerjakan terlebih dahulu kemudian dilanjutkan dengan f. Sedangkan, untuk fungsi “g o f” dibaca fungsi g bundaran f. Jadi, “g o f” adalah fungsi dengan f dikerjakan terlebih dahulu daripada g.

Dari rumus disamping,definisi yang dikata dapatkan adalah:

Jika f : A → B ditentukan dengan rumus y = f(x)

Jika g : B → C ditentukan dengan rumus y = g(x)

Maka, didapatkan hasil fungsi g dan f:

h(x) = (gof)(x) = g( f(x))

Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa fungsi yang melibatkan fungsi f dan g dapat ditulis :

• (g o f)(x) = g(f(x))
• (f o g)(x) = f(g(x))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

Seperti halnya operasi hitung lain, komposisi fungsi juga memiliki sifat-sifat tertentu. Komposisi fungsi memiliki tiga sifat yaitu tidak komutatif, asosiatif, dan memiliki elemen identitas.

Invers Fungsi

Invers fungsi adalah sebuah fungsi yang berkebalikan dari fungsi asalnya. Misalnya anggap saja f sebuah fungsi dari himpunan A ke himpunan B dan g fungsi dari himpunan B ke himpunan A sedemikian sehingga g( f(a) ) = a dan f( f(b) ) = b untuk setiap a anggota himpunan A dan b anggota himpunan B, maka g adalah invers fungsi dari f sehingga bisa ditulis menjadi f-1.

Sebelum kita membahas masalah ini secara lebih jauh, akan lebih baik jika kita mengetahui dan mengenali dahulu fungsi yang memiliki invers. Sebuah fungsi f akan mempunyai fungsi invers (kebalikan) f-1 jika f adalah fungsi satu-satu dan fungsi pada (bijektif). Bisa juga dinyatakan seperti berikut ini:

(f-1)-1 = f

Contohnya f adalah fungsi yang memetakan x ke y, sehingga bisa dituliskan menjadi y = f(x), maka 

f-1 merupakan fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y).

Berdasarkan gambar pemetaan di atas, pemetaan pertama merupakan fungsi bijektif. Pemetaan kedua bukan fungsi bijektif karena pemetaan tersebut hanya terjadi fungsi pada. Domain d dan e dipetakan ke anggota kodomain yang sama. Pemetaan ketiga bukan fungsi bijektif karena pemetaan tersebut hanya terjadi fungsi satu-satu. Kodomain 9 tidak memiliki pasangan pada anggota domain.

Misalkan f fungsi yang memetakan x ke y, sehingga dapat ditulis y = f(x), maka f-1 adalah fungsi yang memetakan y ke x, ditulis x = f-1(y). Sebagai contoh f : A →B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f-1 seperti di bawah ini:

Ada 3 tahapan untuk menentukan fungsi invers, yaitu:

• Ubah bentuk y = f(x) menjadi bentuk x = f(y).
• Tuliskan x sebagai f-1(y) sehingga f-1(y) = f(y).
• Ganti variabel y dengan x sehingga didapatkan rumus fungsi invers f-1(x).

Dalam fungsi invers terdapat rumus khusus seperti berikut:

Daftar Isi

Adistiana.Karina Dwi.2018,"Matematika Kelas 10 | Penggabungan Dua Fungsi Menggunakan Fungsi Komposisi"https://www.ruangguru.com/blog/penggabungan-dua-fungsi-menggunakan-fungsi-komposisi. diakses pada tanggal 11 November 2021

Kelas Pintar.2020."Invers Fungsi: Pengertian dan Juga Contohnya"https://www.kelaspintar.id/blog/tips-pintar/invers-fungsi-pengertian-dan-juga-contohnya-8405/.diakses pada tnggal 11 November 2021

Admin.2017."Sifat-sifat dan Contoh Soal Komposisi Fungsi"https://idschool.net/sma/sifat-sifat-dan-contoh-soal-komposisi-fungsi/.diakses pada tanggal 11 November 2021

Adistiana.Karina Dwi.2018."Matematika Kelas 10 | Apakah Fungsi Invers Itu?"https://www.ruangguru.com/blog/apakah-fungsi-invers-itu.diakses pada tanggal 11 November 2021

Soal Fungsi:Kuadrat,Rasional dan Irasional

 Fungsi Kuadrat

1. Jika fungsi y = ax^2 + 4x + 3a mempunyai nilai maksimum -11, maka a^2 – a adalah:

a.    1/6
b.    1/3
c.    3
d.    10
e.    20
Jawab: e. 20
Pembahasan :
Nilai maksimum y = ax^2 + 4x + 3a adalah

3a^2 – 4 = -11a
3a^2 + 11 a = 0
(3a – 1)(a + 4) = 0
A = 1/3  a = -4

Karena y mempunyai nilai maksimum maka a < 0, sehingga nilai a yang memenuhi adalah -4. Jadi a2 – a = (-4)2 – (-4) = 20 

2. Grafik dari y = 4x - x2 paling tepat di gambar sebagai ....

Pembahasan:

y = 4x - x2 dapat ditulis menjadi y = - x2 + 4x, dengan koefisien-koefisien a = -1, b = 4, dan c = 0.

Karena a = -1 < 0 maka grafik terbuka ke bawah

* Nilai diskriminannya (D):

   D = b2 - 4ac = (4)2 - 4(-1)(0) = 16

   Karena D = 16 > 0, maka grafik memotong sumbu X di dua titik.

* Titik potong dengan sumbu x ⇔ y = 0

   y = 4x - x² atau 4x - x² = y
  ⇔- x2 + 4x = 0

  ⇔ x(-x + 4) = 0

  ⇔ x = 0 atau x = 4

Jadi, grafik y = 4x - x2 yang benar adalah grafik pada jawaban B

3. Diketahui parabola y = mx² - (m + 4)x - 1 dan garis lurus y = x  - ½. Jika parabola dan garis lurus itu saling bersinggungan maka nilai m = .....

A. -2 atau 8
B. -4 atau 4
C. 2 atau -8

D. -2 atau -8
E. 2 atau 8
Pembahasan:
Subtitusikan persamaan garis ke persamaan parabola:
mx² - (m + 4)x - 1 = x - ½
mx² - (m + 4)x - 1 + ½ = 0
mx² - (m + 4)x - ½ = 0

Syarat bersinggungan, D = 0
b² - 4ac = 0
(m + 4)² - 4(m)(-½) = 0
m² + 8m + 16 + 2m = 0
m² + 10m + 16 = 0
(m + 2)(m + 8) = 0
m = -2 atau m = -8
(Jawaban: D)

4.Grafik fungsi y = x2 - 4x + a tidak memotong sumbu X di dua titik jika . . . .

A. a < 0
B. a < 4
C. a ≤ 4
D. a > 4
E. a ≥ 4

Pembahasan:

Fungsi y = x2 - 4x + a, koefisien-koefisiennya a = 1, b = -4, dan c = a memotong sumbu X di dua titik. Berarti kemungkinannya:

1) Tidak memotong memotong sama sekali => D < 0

2) Menyinggung sumbu X => D = 0

Sehingga syarat yang dipenuhi adalah D ≤ 0

⇔ b2 - 4ac ≤ 0

⇔ (-4)2 - 4(1)(a) ≤ 0

⇔ 16 - 4a ≤ 0

⇔ 16 ≤ 4a

⇔ 4 ≤ a

⇔ a  ≥ 4
(Jawaban: E)

5.Titik puncak dari parabola {(x,y)| y = 2x2 - 12x + 14} adalah. . . . .

A. (3 , 4)
B. (3 , -4)
C. (6 , 4)
D. (6 , -4)
E. (3, 6)

Pembahasan:

y = 2x2 - 12x + 14 dengan a = 2, b = -12, dan c = 14

Titik puncak (xp , yp):

xp = −b2a
     = −(−12)2(2)
     = 124
     = 3

yp = b²−4ac−4a
     = (−12)²−4(2)(14)−4(2)
     = 144−112−8
     = 32−8
     = -4

Fungsi Rasional

1. Kurva lengkung y = {x^2}/{x^2+1} memiliki

A. satu asimtot
B. dua asimtot
C. tiga asimtot
D. empat asimtot
E. lima asimtot

Pembahasan:

Terlihat y = {1x^2}}/{1x^2}+1}.Tampak bahwa pembilang dan penyebut pada fungsi f sama-sama berderajat dua. Bagi koefisien variabel berpangkat tertinggi pada pembilang dan penyebut, ditulis y= 1/1 Jadi, fungsi hanya memiliki satu asimtot horizontal, yakni y=1

2. Asimtot vertikal dari fungsi f(x) ={2x-8}/{x^2-7x+12} adalah

a. x=3 dan x=4

b. x=2 saja

c. x=4 saja

d. tidak ada

Pembahasan:

 Asimtot vertikal ditemukan ketika penyebut fungsi rasional tersebut sama dengan nol 

 x^2-7x+12 & = 0 

(x-3)(x-4) & = 0 

x = 3{atau} x = 4

Jadi,fungsi f(x) memiliki dua asimtot vertikal yakni x=3 dan x=4

3. 

Fungsi Irasional

1. Penyelesaian dari √2x+6 adalah

a. x = 3

b. x = -3

c. x = 2

Pembahasan:

(√2x+6)^2=0^2

2x+6=0

2x= -6

x= -3 

syarat 2x+6 ≥ 0 ~ x ≥ -3 maka solusi diterima

2. Jika x memenuhi √3x-1 = 2, makan x+1/3 =

a. 1/3

b. 2

c. 5/3

Pembahasan:

(√3x-1)^2 = 2^2

3x-1 = 4

3x = 4+1

x = 5/3

Maka, x+1/3 = 5/3 + 1/3 = 2

3. Semua bilangan real yang memenuhi persamaan √x^2+4x-5 = 4

a. x = -7 atau x =  3

b. x = -3 atau x = 7

c. x = 3 saja 

Pembahasan:

(√x^2+4x-5)^2 = 4^2

x^2+4x-5 = 16

x^2+4x-21 = 0

(x+7) (x-3) = 0

x= -7 atau x = 3

Syarat akar:

x^2+4x-5 ≥ 0

(x+5) (x-1) ≥ 0

x ≤ -5 atau x ≥ 1

Karena x = -7 maupun x = 3 memenuhi maka solusi diterima. 

Daftar Pustaka

Mawar.Sofia.2021."Soal Pembahasan Fungsi Kuadrat Esay dan pilihan ganda"https://pengayaan.com/soal-pembahasan-fungsi-kuadrat-esay-dan-pilihan-ganda/. diakses pada tanggal 5 November 2021

Ruang Soal.2016."Kumpulan Soal dan pembahasan Fungsi Kuadrat"https://www.ruangsoal.id/2016/10/kumpulan-soal-lengkap-menyelesaikan_7.html?m=1. diakses pada tanggal 5 November 2021

mathcyber.2021."Soal dan Pemmbahsan-Asimtot Fungsi Aljabar"https://mathcyber1997.com/tag/fungsi-rasional/. diakses pada tanggal 5 November 2021

Sukardi.2019."Soal dan Diskusi-Persamaan Irasional (bentuk akar).https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-persamaan-irasional-bentuk-akar/. diakses pada tanggal 5 November 2021