Perbandingan Trigonometri (Tugas PPT)

 Nama: Karmila

Kelas: X MIPA 1

Absen: 13

Soal dan Pembahasan Fungsi Trigonometri

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Jawab:

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11

Nilai minimum = -|a| + c = -|-3| + |-8| = 5

2. Perhatikan grafik fungsi berikut.

Grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi jenis apa?

Pembahasan:

Jika diperhatikan, grafik tersebut dimulai dari titik (0,1) dan mempunyai periode satu putaran 0 ≤ x ≤ 2π.

Dengan demikian, grafik fungsi tersebut adalah grafik fungsi cos, yaitu y = cos x. Untuk meyakinkan, coba lihat salah satu titiknya.

Jadi, grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

3. Lukislah grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o]

Pembahasan:

Untuk menentukan bentuk grafiknya, gunakan tabel trigonometri sudut istimewa.

Dengan demikian, grafik fungsi y = 2 cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o] adalah sebagai berikut.

4. Hitunglah nilai maksimum dan minimum fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0^o, 360^o]. Kemudian, lukislah grafik fungsinya.

Pembahasan:

Berdasarkan tabel trigonometri untuk sudut istimewa, diperoleh:

Berdasarkan tabel di atas, nilai maksimum dari fungsi y = cos (x – 30), x ∈ [0^o, 360^o] adalah 1 dan nilai minimumnya adalah –1. Untuk lebih jelasnya, simak grafik fungsi berikut.

5. Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut.

a. sin 105°

b. cos 15°

c. sin270° + cos270°

 Pembahasan:

a. sin 105° = sin (60° + 45°)

sin (60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

= ½ √3 . ½ √2 + ½ . ½ √2

=  ¼ √6 + ¼ √2 = ¼ (√6 + √2)

b. cos 15° = cos (45° – 30°)

cos (45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin30°

= ½ √2 . ½ √3 + ½ √2 . ½

= ¼  √6 + ¼ √2 = ¼ (√6 + √2)

c. sin270° + cos270°

Karena sin2x + cos2x = 1, maka sin270° + cos270° = 1

6. Gambar;ah grafik fungsi trigonometri f(x)=2 sin 2(x-45°)?

Pembahasan: 

a. Gambar garfik baku fungsi f(x)= sin x

b. Gambar grafik fungsi f(x)= 2sin x dengan ampliyudo a=2

c. Gambar grafik fungsi f(x)= 2 sin x dengan periode p=2π/k = 2π/2= 2

d. Gambar grafik fungsi f(x)= s sin 2(x-45°) dengan b=45° artinya grafik f(x)= 2sin2x digeser ke lanan karen abentuknya negatif sejauh 45°

Daftar Pustaka

Karina Dwi Adistiana.2018."Matematika Kelas 10 | Memahami Fungsi Trigonometri Sederhana"https://www.ruangguru.com/blog/memahami-fungsi-trigonometri-sederhana. diakses pada tanggal 16 Februari 2022

sereliciouz.2020."Grafik Fungsi Trigonometri – Matematika Kelas 10"https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/grafik-fungsi-trigonometri-matematika-kelas-10/. diakses pada tanggal 16 Februari 2022

Agustian.2022."Identitas Trigonometri: Persamaan, Grafik fungsi, Tabel, Sudut Istimewa, Contoh Soal"https://rumuspintar.com/identitas-trigonometri/. diakses pada tanggal 16 Februari 2022

Blog.Koma.2015."Grafik Fungsi Trigonometri"https://www.konsep-matematika.com/2015/11/grafik-fungsi-trigonometri.html. diakses pada tanggal 16 Februari 2022

Fungsi Trigonomentri dan Beberapa Contoh Soalnya

Definisi Trigonometri

Fungsi trigonometri merupakan suatu fungsi yang grafiknya berulang secara terus menerus dalam periode tertentu. Fungsi dari periode itu sendiri merupakan suatu jarak antara dua puncak/lembah atau jarak antara awal puncak dan akhir lembah. Selain itu, terdapat amplitudo yang merupakan setengah dari selisih nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi. Rumus amplitudo sebagai berikut:

Melukis Grafik Fungsi Trigonometri

Nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa berperan penting dalam melukiskan bentuk grafiknya. Inilah tabel perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa.

1. Melukis grafik fungsi sinus menggunakan tabel

Adapun langkah-langkahnya adalah sebagai berikut.

a. Gunakan nilai perbandingan trigonometri untuk sudut istimewa dengan sudut relasi sebagai x.

b. Melengkapi nilai pada tabel, lalu tulis pasangan koordinat titik-titiknya dalam radian atau derajat.

c. Lukis titik tersebut dalam koordinat kartesius yang sesuai.

d. Lukis kurva melalui titik-titiknya.

2. Melukis grafik fungsi kosinus menggunakan tabel

Sama seperti grafik fungsi sinus, untuk kosinus kamu bisa menentukan terlebih dahulu nilai kosinus sudut-sudut istimewanya.

Dengan demikian, diperoleh grafik berikut ini.

3. Melukis grafik fungsi tangen menggunakan lingkaran satuan

Jari-jari lingkaran satuan yang diperpanjang sampai memotong sumbu-y, akan menghasilkan gambar berikut.

Dari gambar di atas, kamu bisa mendapatkan beberapa nilai tangen berikut.

Nilai di atas menunjukkan bahwa nilai tangennya adalah panjang ruas garis dari titik O sampai ke titik potong jari-jari yang terkait sudut, misalnya sudut x. Untuk melukis grafik fungsi tangen, kamu bisa melalui titik potongnya, dengan ruas atas bertanda positif dan ruas bawah bertanda negatif.

Grafik Fungsi Trigonometri

Secara umum, grafik fungsi trigonometri dibagi menjadi tiga, yaitu sebagai berikut.

1. Grafik fungsi sinus (y = a sin bx, x ∈ [0^o, 360^o])

Grafik fungsi sinus, y = a sin bx, x ∈ [0^o, 360^o] memiliki bentuk gelombang bergerak yang teratur seiring pergerakan x. Perhatikan gambar berikut.

Berdasarkan grafik di atas, diperoleh sifat-sifat berikut.

1. Simpangan maksimum gelombang atau yang biasa disebut amplitudo adalah 1. Simpangan gelombang adalah jarak dari fungsi x ke puncak gelombang.
2. Gelombang memiliki periode satu putaran penuh.
3. Grafik y = sin x memiliki nilai y_maks = 1 dan y_min = -1.
4. Titik maksimum gelombang adalah adalah (90^o, 1) dan titik minimumnya (270^o, -1).

Jika persamaan fungsi trigonometrinya diubah menjadi y = a sin x dengan a = 2, diperoleh grafik berikut.

Perubahan nilai a mengakibatkan perubahan amplitudo gelombang. Nah, jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = sin bx dengan b = 2, grafiknya akan menjadi seperti berikut.

Artinya, perubahan nilai b mempengaruhi jumlah gelombang yang terbentuk. Pada grafik fungsi y = sin 2x terbentuk 2 buah gelombang.

Untuk memudahkan belajarmu, inilah SUPER “Solusi Quipper”.

2. Grafik fungsi kosinus (y = cos 2x, x ∈ [0^o, 360^o])

Pada dasarnya, grafik fungsi kosinus sama dengan grafik fungsi sinus. Hal yang membedakan adalah grafik fungsi sinus dimulai dari y = 0, sedangkan grafik fungsi kosinus dimulai dari y = 1. Perhatikan grafik berikut.

Jika persamaan fungsinya diubah menjadi y = cos 2x, grafiknya menjadi seperti berikut.

Grafik di atas menujukkan adanya dua buah gelombang yang bergerak dari y = 1.

3. Grafik fungsi tangen (y = tan x, x ∈ [0^o, 360^o])

Adapun ketentuan yang berlaku pada fungsi tangen adalah sebagai berikut.

• Saat x -> 90^o dan x -> 270^o (dari kanan), nilai y = tan x menuju tak terhingga.
• Saat x -> 90^o dan x -> 270^o (dari kiri), nilai y = tan x menuju negatif tak terhingga.

Berikut ini contoh grafiknya.

Jika fungsi tangen diubah menjadi y = tan 2x, x ∈ [0^o, 360^o] grafiknya menjadi seperti berikut.

Selain itu terdapat grafik tidak baku pada fungsi trigonometri yang lebih kompleks. Bentuk fungsinya adalah:

Fungsi trigonometri memiliki nilai minimum dan maksimum, cara menentukannya dapat menggunakan metode grafik dan melalui rumus. Metode grafik dengan cara menggambarkan grafiknya, titik puncak pada bukit adalah nilai maksimum sedangkan titik terendah pada lembah adalah nilai minimum. Selain dengan grafik, nilai maksimum dan nilai minimum dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut:

Tabel Trigonometri

Tabel trigonometri pada kuadran I

Tabel tabel trigonometri pada kuadran II

Tabel tabel trigonometri pada kuadran III

Tabel tabel trigonometri pada kuadran IV

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam fungsi trigonometri diantaranya:

Contoh Soal:

1. Tentukan nilai maksimum dan nilai minimum dari fungsi trigonometri di bawah in!

a. f(x) = 2 sin 2x + 5

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8

Jawab:

a. f(x) = 2 sin 2x + 5 → a = 2 , c = 5

Nilai maksimum = |a| + c = |2| + 5 = 7

Nilai minimum = -|a| + c = -|2| + 5 = 3

b. f(x) = -3 cos 3(x+90°) - 8 → a = -3 , c = -8

Nilai maksimum = |a| + c = |-3| + |-8| = 11

Nilai minimum = -|a| + c = -|-3| + |-8| = 5

2. Perhatikan grafik fungsi berikut.

Grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi jenis apa?

Pembahasan:

Jika diperhatikan, grafik tersebut dimulai dari titik (0,1) dan mempunyai periode satu putaran 0 ≤ x ≤ 2π.

Dengan demikian, grafik fungsi tersebut adalah grafik fungsi cos, yaitu y = cos x. Untuk meyakinkan, coba lihat salah satu titiknya.

Jadi, grafik fungsi tersebut merupakan grafik fungsi y = cos x untuk 0 ≤ x ≤ 2π.

Daftar Pustaka

Karina Dwi Adistiana.2018."Matematika Kelas 10 | Memahami Fungsi Trigonometri Sederhana"https://www.ruangguru.com/blog/memahami-fungsi-trigonometri-sederhana. diakses pada tanggal 16 Februari 2022

sereliciouz.2020."Grafik Fungsi Trigonometri – Matematika Kelas 10"https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/grafik-fungsi-trigonometri-matematika-kelas-10/. diakses pada tanggal 16 Februari 2022