Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

 Bentuk Umum Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat atau disingkat dengan SPKK merupakan sistem persamaan yang terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel. Bentuk umumnya ialah:

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama)

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua)

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real.

Cara Penyelesaian

Langkah 1:

Subtitusikan bagian kuadrat persamaan pertama ke bagian kuadrat yang kedua atau sebaliknya sehingga diperoleh persamaan kuadrat baru.

Langkah 2:

Selesaikan persamaan kuadrat baru yang diperoleh pada langkah pertama.

Langkah 3:

Subtitusikan nilai x yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan pertama atau persamaan kedua. Untuk mempermudah perhitungan, silahkan kalian pilih persamaan kuadrat yang lebih sederhana.

Contoh Soal

1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2

y = 2x2 – 3x

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 ke bagian kuadrat yang kedua y = 2x2 – 3x sehingga diperoleh:

⇒ x2 = 2x2

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 0

⇒ x2 – 3x = 0

⇒ x(x – 3) = 0

⇒ x = 0 atau x = 3

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 3 ke bagian kuadrat yang pertama y = x2.

■ Untuk x = 0 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (0)2

⇒ y = 0

■ Untuk x = 3 diperoleh:

⇒ y = x2

⇒ y = (3)2

⇒ y = 9

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini.

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya.

y = x2 – 1

y = x2 – 2x – 3

Jawab:

Subtitusikan bagian kuadrat yang pertama y = x2 – 1 ke bagian kuadrat yang kedua y = x2 – 2x – 3 sehingga diperoleh:

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 3

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 1

⇒ 2x = –2

⇒ x = –1

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 1 sehingga diperoleh:

⇒ y = x2 – 1

⇒ y = (–1)2 – 1

⇒ y = 1 – 1

⇒ y = 0

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini.

3. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 – 2x – 3 dan y = x2 – 1

Jawab

y = y
x2 – 2x – 3 = x2 – 1
x2 – 2x – 3 – x2 + 1 = 0
–2x – 2 = 0
–2x = 2

x = –1
Untuk x = –1 maka y = (–1)2 – 1 = 1 – 1 = 0 Jadi H = {(–1, 0}

4. Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan y = x2 + x – 2 dan y = 2x2 – 3x + 1
Jawab
y = y
2x2 – 3x + 1 = x2 + x – 2
2x2 – 3x + 1 – x2 – x + 2 = 0
x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x1 = 1 dan x2 = 3
Untuk x1 = 1 maka y = (1)2 + (1) – 2 = 0
Untuk x2 = 3 maka y = (3)2 + (3) – 2 = 10
Jadi H = {(1, 0), (3, 10)}

5. Untuk a ≠ 1, maka tentukanlah nila a agar sistem persamaan y = x2 – x – 5 dan y = ax2 + 5x + 1 memiliki satu anggota penyelesaian
Jawab
y = y
x2 – x – 5 = ax2 + 5x + 1
x2 – x – 5 – ax2 – 5x – 1 = 0
x2 – ax2 – 6x – 6 = 0
(1 – a)x2 – 6x – 6 = 0
Syarat :
D = b2 – 4ac = 0
(–6)2 – 4(1 – a)(–6) = 0
36 + 24(1 – a) = 0
36 + 24 – 24a = 0
60 – 24a = 0
–24a = –60
a = 60/24
a = 5/2

6. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika diketahui persamaan y =  5x² dan y = 6x² – 7x?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = 5x² ke y = 6x² – 7x. Untuk itu hasilnya akan menjadi:
               5x² = 6x² – 7x
6x² – 5x² – 7x = 0
          x² – 7x = 0
         x(x – 7) = 0
  x = 0 atau x = 7

Selanjutnya nilai x di atas disubtsitusikan ke persamaan y =  5x². Maka :
Untuk x = 0 → y = 5x²
                      y = 5(0)²
                      y = 0

Untuk x = 7 → y = 5x²
                      y = 5(7)²
                      y = 245
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(0, 0), (7, 245)}.

7. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = x² – 3 dan y = x² – 2x – 9?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = x² – 3 ke y = x² – 2x – 9. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
  x² – 3 = x² – 2x – 9
x² – x² = -2x – 9 + 3
      2x = -6
        x = -3

Setelah itu x = -3 disubstitusikan ke y = x² – 3. Maka:
y = x² – 3
y = (-3)² – 3
y = 6
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-3, 6)}.

8. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK jika persamaannya y = -4x² dan y = x² + 4x + 3?

Pembahasan.
Contoh soal sistem persamaan kuadrat kuadrat ini dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi y = -4x² ke y = x² + 4x + 3. Untuk itu hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini:
                    -4x² = x² + 4x + 3 
x² + 4x² + 4x + 3 = 0
        5x² + 4x + 3 = 0

Langkah selanjutnya menggunakan cara diskriminan untuk menyelesaikan persamaan di atas. Maka:
5x² + 4x + 3 = 0, dimana a = 5, b = 4 dan c = 3
D = b² – 4ac
D = (4)² – 4(5)(3)
D = 16 – 60
D = -44
Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong karena D < 1.

Daftar Pustaka

Suamarwo.Muji.2017. "Sistem Persamaan Kuadrat Kuadrat"https://www.materimatematika.com/2017/11/sistem-persamaan-kuadrat-dan-kuadrat.html. diakses pada tanggal 17 September 2021

Mipa.blog." Contoh Soal dan Pembahasan SPKK (Sistem Persamaan kuadrat kuadrat ".https://blogmipa-matematika.blogspot.com/2017/12/contoh-soal-SPKK.html. diakses pada tanggal 17 September 2021

Amin. Eka Nur. " Contoh soal Sistem Persamaan Kuadrat kuadrat ".https://rpp.co.id/soal-sistem-persamaan-kuadrat-kuadrat-spkk/.diakses pada tanggal 17 September 2021